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이 수학 문제 풀면 20억 상금: 페르마의 마지막 정리

風林火山 2008.11.11 13:32

페르마의 마지막 정리: Fermat's Last Theorem

n이 3이상의 정수일 때,
xn + yn = zn 를 만족하는 정수해 x, y, z는 존재하지 않는다.

x2 + y2 = z2 의 피타고라스 정리가 일반화된 것인데, 357년간 이에 대한 증명이 나오지 않았었다. 그런데 왜 페르마의 추측이라고 하지 않고 정리라고 했을까? 1637년 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 고대 그리스 수학자 디오판토스의 저서 <산술(Arithmetica)>의 여백에 다음과 같이 적혀 있었다.

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.
"나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다. 하지만 이 여백이 좁아서 증명을 쓸 수가 없다."

원래 페르마는 자신의 발견을 발표하지 않고 다른 수학자들과의 편지나 책 여백에 적어두곤 했는데 페르마 사후에 페르마의 아들이 이를 정리해서 발표한 것 중에 위와 같은 사실이 있었다는 것이다.

페르마의 추측 또는 가설이라고 명명해야할 것을 위대한 수학자 페르마가 분명 뭔가를 발견했을 것이라는 생각에 페르마의 정리라고 명명한 것이고 페르마의 다른 것들은 다 증명이 되었지만 이것만큼은 오래도록 증명이 되지 않아 '페르마의 마지막 정리'라고 명명한 것.


피에르 드 페르마: Pierre de Fermat - 정말 증명했을까?


357년 동안 수많은 수학자들이 도전했으나 증명되지 않았고, 이 정리를 증명하는데는 20세기 최신의 수학들이 접목되었는데 과연 페르마가 17세기 당시에 증명할 수 있었을까? 이에 대해서는 의견이 엇갈리는데 17세기 수학만으로 천재성을 발휘하여 증명했다는 의견과 당시에 발견한 증명 방법이 나중에 오류를 발견했을 것이라는 의견이 둘로 나뉜다.

페르마의 증명을 부정하는 이유는 대부분의 페르마의 발견은 다른 수학자들과의 편지에서 문제를 풀어보라고 얘기를 하지만(자신은 알고 있으므로) 유독 이 정리만은 n이 3이나 4일 경우만 언급되어 있고 일반적인 n에 대해서는 언급되어 있지 않기 때문이다.


볼프스켈 상: Wolfskehl Prize - 이 문제 푸는데 20억


독일 수학자 볼프스켈(Paul Friedrich Wolfskehl)은 죽기 전에 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명한 최초의 사람에게 10만 마르크(약 20억원)의 상금을 주라고 기증하게 되고 괴팅엔 왕립과학원은 2007년 9월 13일까지 증명하는 사람에게 주겠노라고 1908년 '을 발표했다. 오우~ 잘생긴 만큼 씀씀이도 크셔라~ 결국 이 상금은 1997년 6월 27일 영국의 수학자 앤드류 와일즈의 손에 쥐어지게 되었다.


앤드류 와일즈: Andrew Wiles


7년동안 페르마 마지막 정리에만 매달렸던 수학자로 증명에 오류가 있어 재증명한 후에 상금을 받게 되었단다. 페르마의 마지막 정리를 증명하려고 했던 수많은 수학자들의 히스토리를 보면 정말 얼마나 많은 수학자들이 이를 증명하려고 무척이나 노력했던 것을 엿볼 수 있다. 너무 많아서 소개하지는 못하겠다. 그럼 어떻게 증명했을까?

1955년, 다니야마(Yutaka Taniyama) 는 타원함수, 즉 y2 = x3 + ax + b 꼴의 함수에 대해 어떤 문제를 제기했습니다. 시무라(Shimura) 와 베이유(Weil) 는 이 문제를 더 연구하여 하나의 "추측" 을 제기했고 그것은 시무라-다니야마-베이유의 추측이라고 불립니다. 그런데 1984년, 프라이(Gerhard Frey) 는 페르마의 마지막 정리와 시무라-다니야마-베이유의 추측이 서로 관계가 있음을 밝혔고, 1986년에는 리벳(Ken Ribet) 에 의해, 페르마의 마지막 정리에 반례가 있다면 시무라-다니야마-베이유의 추측에도 반례가 생긴다는 것이 증명되었습니다. 즉, 시무라-다니야마-베이유의 추측만 증명하면, 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것입니다. 이것으로 페르마의 마지막 정리는 단순히 호기심을 불러일으키는 문제에서, 공간의 기본적인 성질에 관계된 문제로 탈바꿈했습니다. 와일즈(Andrew Wiles) 가 한 일은, 시무라-다니야마-베이유의 추측을, 어떤 일부의 경우에 대해서 증명한 것입니다. 그것으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데는 충분했던 것입니다.

[ 출처 : http://www.mathlove.org/pds/materials/episodes/fermat.htm ]

가만히 읽다보면 완벽한 증명이라고는 할 수 없다는 느낌이 든다. 그래서 그런지는 몰라도 한국에서 더 평이하면서 완벽한 증명이 있다고 고군분투하고 계시는 분이 있는 듯.

- http://blog.naver.com/leejaeyul5

추가. 이에 대해서는 아래의 덧글 참조 요망. http://lsk.pe.kr/2152#comment452193

페르마의 마지막 정리 
사이먼 싱 지음, 박병철 옮김/영림카디널
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